Indhold
Vores moderne forståelse af kardinalitet kommer fra Georg Cantors arbejde i 1890'erne. Sæt kan have tre typer kardinal: Endelig, Tællelig og Uligelig. Endelige sæt kan have et bestemt nummer tildelt, såsom deres kardinalitet: antallet af elementer i sættet. Både talbare og utallige sæt er uendelige. Cantor var den første matematiker til at påpege, at det karakteristiske ved et uendeligt sæt er, at det kan placeres i en en-til-en korrespondance med sin egen delmængde af sig selv.
retninger
-
Giv et bestemt tal til et sæt kardinalitet, hvis det er begrænset. For disse sæt er kardinalitet antallet af genstande i den. For uendelig er det umuligt at udpege et bestemt tal for kardinalitet - vi kan kun bruge et beskrivende ord. En delmængde af et sæt er en, der indeholder nogle - men ikke alle - af de indstillede tal, men ingen der ikke er indenfor det. For eksempel er en delmængde af bogstaver i det portugisiske alfabet bogstaverne i ordet "banan". For endelige sæt er de korrekte undergrupper mindre end sætet. Det er ikke sandt for uendelige sæt.
-
Start med et bestemt element i sættet og hold evigt på en bestemt måde op for at optælle alle elementerne i et sæt. Dette er definitionen af regnskab for et uendeligt sæt. Nøglefunktionen er, at der er en algoritme til at liste alle elementer evigt. Det arketypiske talbare uendelige sæt er det for heltal. Start med "en" og fortsæt med det næste sekventielle nummer. Du kan ikke give et kardinalnummer, du vil kun sige at det er evigt. Bemærk at for hvert heltal er der et tilsvarende ensartet tal, der vil være dobbelt så stort. Der er så mange heltal, som der er lige tal. Der er en en-til-en match mellem setet og en ordentlig delmængde af det sæt.
-
Sammenlign et sæt med tallene mellem nul og en for at se om det er utallige uendelige. Du kan ikke begynde at tælle dem, fordi der ikke er noget "næste" nummer efter et tal mellem nul og en. Cantor gav et eksempel til at hjælpe med den intuitive forståelse af utallige sæt: punkter og linjer. Point er ikke lange eller brede, selvom en linje består af point. Hvis linjerne er uendelige punkter, vil linjelængden være 0 + 0 + 0 og så videre, for evigt. Linjerne skal have et utallige antal point.
tips
- Cantor testen er at se, om to sæt har samme kardinalitet, hvis elementerne i sættet kan matches en efter en med den anden.
advarsel
- Aritmetik vil kun fungere for endelige sæt. Hvis N begge er tællbare og utallige uendelighed, N + 1 = 200N = N + N = N.